在数值分析领域中，复化梯形公式和辛普森公式是两种常用的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。这两种方法在工程、物理以及经济学等领域都有着广泛的应用。本文将介绍如何使用MATLAB实现这两种数值积分算法，并通过示例展示其应用。
复化梯形公式
复化梯形公式是一种通过分段逼近曲线的方法来提高积分精度的技术。基本思想是对整个区间进行细分，然后对每个子区间应用梯形法则。设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，将其分为 \( n \) 个等间距的子区间，则复化梯形公式的表达式为：
\[
T_n = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b) \right]
\]
其中 \( h = \frac{b-a}{n} \) 是每个子区间的宽度。
辛普森公式
与梯形公式相比，辛普森公式利用二次多项式来逼近曲线，从而提供更高的精度。同样地，我们将区间 \([a, b]\) 分为偶数个子区间（通常为 \( n \)），则辛普森公式的表达式为：
\[
S_n = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1, \text{odd}}^{n-1} f(a + ih) + 2 \sum_{i=2, \text{even}}^{n-2} f(a + ih) + f(b) \right]
\]
这里 \( h \) 和 \( n \) 的定义与复化梯形公式相同。
MATLAB 实现
下面是在MATLAB中实现这两种方法的具体代码：
```matlab
function T = composite_trapezoidal(f, a, b, n)
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
y = f(x);
T = h (0.5y(1) + sum(y(2:end-1)) + 0.5y(end));
end
function S = composite_simpson(f, a, b, n)
if mod(n, 2) ~= 0
error('Number of intervals must be even for Simpson''s rule.');
end
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
y = f(x);
S = h/3 (y(1) + 4sum(y(2:2:end)) + 2sum(y(3:2:end-1)) + y(end));
end
```
示例应用
假设我们要计算函数 \( f(x) = e^{-x^2} \) 在区间 \([0, 1]\) 上的积分值。我们可以调用上述函数并比较结果：
```matlab
f = @(x) exp(-x.^2);
a = 0; b = 1;
% 使用复化梯形公式
n = 100;
T = composite_trapezoidal(f, a, b, n);
% 使用辛普森公式
S = composite_simpson(f, a, b, n);
disp(['复合梯形公式结果: ', num2str(T)]);
disp(['辛普森公式结果: ', num2str(S)]);
```
通过调整 \( n \) 的大小，可以观察到随着分段数量增加，两种方法的积分精度逐渐提高。
希望这篇文章能满足您的需求！如果有任何进一步的问题或需要更详细的解释，请随时告知。
