【二次函数最值公式】在数学中，二次函数是最常见的函数类型之一，其形式为 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。二次函数的图像是一个抛物线，根据系数 $ a $ 的正负，抛物线开口向上或向下。因此，二次函数在其定义域内存在最大值或最小值，统称为“最值”。
为了快速求出二次函数的最值，可以使用以下公式进行计算，而无需通过求导或配方法。
一、最值公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 二次函数图像的对称轴位置 |
| 最小值（当 $ a > 0 $） | $ f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a} $ | 抛物线开口向上时的最低点 |
| 最大值（当 $ a < 0 $） | $ f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a} $ | 抛物线开口向下时的最高点 |
二、公式推导简述
1. 顶点横坐标：
二次函数的对称轴位于 $ x = -\frac{b}{2a} $，这是由配方法得出的结果。将该值代入原函数，即可得到对应的函数值，即为最值。
2. 最值计算：
将 $ x = -\frac{b}{2a} $ 代入 $ f(x) = ax^2 + bx + c $ 中，化简后可得最值表达式：
$$
f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
$$
= a \cdot \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c = c - \frac{b^2}{4a}
$$
三、实际应用示例
假设有一个二次函数 $ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 $，则：
- $ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = 1 $
- 顶点横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $
- 最小值：$ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 $
由于 $ a > 0 $，所以该函数在 $ x = 1 $ 处取得最小值，最小值为 -1。
四、注意事项
- 当 $ a > 0 $ 时，函数有最小值；当 $ a < 0 $ 时，函数有最大值。
- 若题目要求在某个区间内的最值，需同时考虑端点和顶点处的函数值。
- 公式适用于所有标准形式的二次函数，不依赖于具体变量名或数值。
五、总结
二次函数的最值公式是解决实际问题的重要工具，能够快速确定函数的最大或最小值，避免复杂的计算过程。掌握这一公式，有助于提高解题效率，并加深对二次函数性质的理解。
